Introducción del bicondicional

La introducción del bicondicional^[1]​^[2]​^[3]​ es una regla de inferencia válida en lógica proposicional. Permite inferir un bicondicional a partir de dos sentencias condicionales. En otras palabras, esta regla permite introducir un enunciado bicondicional en una prueba lógica. Si ${\displaystyle P\to Q}$ es verdad, y si ${\displaystyle Q\to P}$ es verdad, entonces se puede inferir que ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ es verdad. La introducción del bicondicional es la conversión de la eliminación del bicondicional.

Por ejemplo, de las declaraciones "si estoy respirando, entonces yo estoy vivo" y "si estoy vivo, entonces estoy respirando", se puede inferir que "estoy respirando si y sólo si estoy vivo".

La introducción del bicondicional puede escribirse formalmente como:

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&P\to Q\\&Q\to P\\\hline \therefore &P\leftrightarrow Q\\\end{array}}}$

donde la regla es que siempre que las instancias de "${\displaystyle P\to Q}$" y "${\displaystyle Q\to P}$" aparecen en las líneas de una prueba, "${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$" puede ser colocado válidamente en una línea posterior.

Notación formal

La regla de introducción del bicondicional puede escribirse en la notación subsiguiente:

${\displaystyle (P\to Q),(Q\to P)\vdash (P\leftrightarrow Q)}$

donde ${\displaystyle \vdash }$ es un símbolo metalógico lo que significa que ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ es una consecuencia sintáctica cuando ${\displaystyle P\to Q}$ y ${\displaystyle Q\to P}$ están ambos en una prueba;

o como la afirmación de una verdadera tautología funcional o teorema de la lógica proposicional:

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to P))\to (P\leftrightarrow Q)}$

donde ${\displaystyle P}$, y ${\displaystyle Q}$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Referencias

Enlaces externos