Subespacio (topología)

Sea ${\displaystyle {\big (}X,{\mathcal {T}}{\big )}}$ un espacio topológico.

${\displaystyle S\subset X}$ será un subespacio de ${\displaystyle X\Leftrightarrow S}$ es un espacio topológico para la topología inducida por ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle S}$, llamada topología del subespacio, topología inducida, topología relativa o topología traza.

Definición

Con ${\displaystyle S}$ definido arriba, definimos la topología del subespacio, ${\displaystyle {\mathcal {T_{S}}}}$, sobre ${\displaystyle S}$ como

${\displaystyle {\mathcal {T_{S}}}=\{S\cap U{\big |}U\in {\mathcal {T}}\}}$.

Es decir, un subconjunto de S es abierto si es intersección de S con algún abierto de X.

Ejemplo

En la recta real, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, con su topología habitual ...

• La topología del subespacio ${\displaystyle \mathbb {N} }$, subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, es la topología discreta.

Propiedades

• Todo conjunto cerrado es la intersección de S con un conjunto cerrado de X.
• Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) S es un subespacio abierto de X.

ii) Un subespacio de S es abierto en S.

iii) El subespacio de S es abierto en X.

• Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) S es un subespacio cerrado de X.

ii) Un subespacio de S es cerrado en S.

iii) El subespacio de S es cerrado en X.

• ${\displaystyle B}$ es una base para ${\displaystyle X\Leftrightarrow B_{S}={\big (}S\cap U{\big |}U\in B{\big )}}$ es una base para el subespacio ${\displaystyle S\subset X}$.
• La topología inducida por un espacio métrico a un subconjunto por la restricción de la métrica del espacio a ese subconjunto es la topología inducida del subespacio para ese subconjunto.

Véase también

• la noción dual espacio cociente

Referencias

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6